【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為平行四邊形,若∠DAB=60°,AB=2,AD=1.
(1)求證:PA⊥BD;
(2)若∠PCD=45°,求點D到平面PBC的距離h.

【答案】
(1)證明:∵AD=1,AB=2,∠DAB=60°,

∴BD2=AB2+AD2﹣2ABADcos60°=3,

∴AD2+BD2=AB2,

∴AD⊥BD,

∵PD⊥平面ABCD,BD平面ABCD,

∴PD⊥BD,又AD∩PD=D,

∴BD⊥平面PAD,

∵PA平面PAD,

∴BD⊥PA


(2)解:由(1)可知BC⊥BD,

∴SBCD= =

∵∠PCD=45°,∴PD=CD=2,

∴VPBCD= =

∵PC= CD=2 ,PB= = ,BC=1,

∴BC2+PB2=PC2,∴PB⊥BC,

∴SBCP= = ,

∴VDBCP= = ,

又VPBCD=VDBCP,∴ = ,

解得h=


【解析】(1)利用勾股定理逆定理證明AD⊥BD,結合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD,故而PA⊥BD;(2)根據(jù)VPBCD=VDBCP列方程解出h.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點,需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題.

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