Question

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcos(x+

π

3

)+

3

4

．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若f（A）=0，a=

3

，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為

3

2

sin(2x+

π

3

)，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范圍，即得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（A）=0，求出A=

π

3

或A=

5π

6

，再由三角形中大邊對(duì)大角得A=

π

3

，由正弦定理求得sinB=1，則B=

π

2

，C=

π

6

，由S=

1

2

absinC求得結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinx(cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

)+

3

4

=

3

2

sinxcosx-

3

2

sin2x+

3

4

=

3

4

sin2x+

3

4

cos2x=

3

2

sin(2x+

π

3

)…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z． …（6分）
（2）∵f（A）=0，∴

3

2

sin(2A+

π

3

)=0，解得A=

π

3

或A=

5π

6

，又a＜b，故A=

π

3

．…（8分）
由

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=1，則B=

π

2

，C=

π

6

，…（10分）
所以S=

1

2

absinC=

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理，二倍角公式，已知三角函數(shù)值求角的大小，正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．