Question

【題目】函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+x有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（0，1）
B.（﹣∞，1）
C.（﹣∞， ）
D.（0， ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x，
將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問題；
又函數(shù)h（x）=x（ax﹣1），
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）和h（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，由lnx﹣ax2+x=0，得a= ；
令r（x）= ，則r′（x）= = ，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r'（x）＞0，r（x）是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，r'（x）＜0，r（x）是單調(diào)減函數(shù)，且 ＞0，∴0＜a＜1；
或當(dāng)a＞0時(shí)，作出兩函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的圖象，如圖所示；
g（x）=lnx交x軸于點(diǎn)（1，0），
h（x）=ax2﹣x交x軸于點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（ ，0）；
要使方程有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)滿足兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即 ＞1，解得0＜a＜1；
∴a的取值范圍是（0，1）．
故選：A．
函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx和h（x）=ax2﹣x交點(diǎn)的問題；
討論a≤0時(shí)不滿足題意，a＞0時(shí)，求得（a）max=1，當(dāng)x→+∞時(shí)，a→0，從而可得答案．
或a＞0時(shí)，作出兩函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=ax2﹣x的圖象，由 ＞1求出a的取值范圍．