Question

16．觀察下列各式：1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜\frac{5}{3}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$…照此規(guī)律，當n?N^*時，1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$．

Answer 1

分析 由已知的三個等式總結(jié)項數(shù)以及最后一項的分母變化以及右邊分數(shù)變化與序號的關系，找到規(guī)律．

解答 解：觀察下列各式：1+$\frac{1}{2^2}＜\frac{3}{2}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}＜\frac{5}{3}1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}＜\frac{7}{4}$…照此規(guī)律，
發(fā)現(xiàn)不等式的左右兩邊：不等式的右邊的分子是$\frac{2n+1}{n+1}$的形式，分母是n+1的形式，
故由歸納推理的模式可得：當n?N^*時，1+$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$＜$\frac{2n+1}{n+1}$
故答案為：$\frac{2n+1}{n+1}$．

點評 本題考查了歸納推理關鍵是從已知的不等式發(fā)現(xiàn)左右兩邊變化與序號的關系，發(fā)現(xiàn)總結(jié)規(guī)律．