Question

【題目】已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.

（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；

（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）設A的坐標為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；

（2）將拋物線的方程與圓的方程聯立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.

（1）設A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），

圓C的直徑|AB|，

圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，

因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，

整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，

所以拋物線的方程為：y2＝4x；

（2）聯立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，

所以中點G的橫坐標xG＝5﹣p，yG（），

所以kOG（0＜P＜1），

令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），

解得0＜kOG，

所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.