Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求證：有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)；

（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）知，遞增，由和，根據(jù)零點(diǎn)存在定理則可證.

（2）由探求出，轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)，在上恒成立，令

進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，再證明該不等式右邊恒大于等于0即可.

（1）證明：由于，，

則在上單調(diào)遞增.

令，則，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

則，即.

由于，，

故，使得，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

因此在有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn).

（2）解：由于不等式在上恒成立，

（i）必要性，當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，

令，，

由于，則在上單調(diào)遞增，

又由于，則的解為，

（ii）充分性，下面證明當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

令，

由于，，，

，

則，

令，則，

故，在上單調(diào)遞增.

由于，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故，即恒成立，

因此，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.