Question

如圖，已知，（a＞c），且，，C為動(dòng)點(diǎn)．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)P的軌跡上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，且線段EF的中垂線與AB（或AB的延長(zhǎng)線）相交于一點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q的活動(dòng)范圍．

Answer 1

解：如圖，以A，B所在直線為x軸，A，B的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由題設(shè)，2，=0，
∴|．
而==2a＞2c
∴點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓．即=1
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），Q（x₀，0）
x₁≠x₂，
即（x₁-x₀）2+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂^{2 ①}
又E，F(xiàn)在軌跡上，∴=1，=1
將y₁²，y₂² ，代入①式整理，得
2（x₂-x₁）═（x₂-x₁）²•
∵x₁≠x₂，∴x₀=
-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，
-2a＜x₁+x₂ ＜2a
-＜x₀＜．
即|x₀|＜．
∴點(diǎn)在與AB中點(diǎn)相距 的線段上活動(dòng)（不包括兩端點(diǎn)）．
分析：（1）由已知，根據(jù)向量關(guān)系，結(jié)合線段中垂線性質(zhì)，研究出==2a＞2c，得知點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓，可寫出其軌跡方程．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），Q（x₀，0），得出 x₀=，再根據(jù)-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a求出|x₀|＜．點(diǎn)在與AB中點(diǎn)相距 的線段上活動(dòng)（不包括兩端點(diǎn)）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系．（1）中得出而==2a＞2c （2）中得出 x₀=是關(guān)鍵．考查解析法的思想、計(jì)算能力．