Question

已知函數f(x)＝ax²＋bx(a＜0)，對于數列{a_n}，設它的前n項的和為S_n，且S_n＝f(n)(n∈N^*)．

(1)證明數列{a_n}是遞減的等差數列；

(2)證明所有的點M_k(k，)(k∈N^*)在同一直線L₁上；

(3)設過點(1，a₁)、(2，a₂)的直線為L₂，求L₁與L₂的夾角的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

證明(1)Sn＝an2＋bn，a1＝a＋b　　an＝sn－sn－1＝(2n－1)a＋b　　n≥2 　　當n＝1時也適合．　　∴an＝(2n－1)a＋b 　　∵an－an－1＝2a(定值)　　∴數列{an}為等差數列 　　又∵an－an－1＝2a＜0　　即an＜an－1　　∴{an}為遞減數列 　　證明(2)設任意兩點Mk(k，)，Mn(n，)　　n≠k 　　兩點斜率＝＝a(實值) 　　所以所有的點在同一直線y－(a＋b)＝a(x－1)上 　　(法二，f(k)＝＝ak＋b) 　　解(3)L1方程y＝ax＋b　　k1＝a　　N1(1，a＋b)　　N2(2，3a＋b)　　k2＝2a 　　tanθ＝＝(a＜0) 　�。�　　∵|＋2a|≥ 　　∴tanθ≤　　當且僅當a＝－時取等號　　又tanθ在(0，)上遞增 　　∴θmax＝arc