【題目】【2018湖南(長郡中學(xué)、株洲市第二中學(xué))、江西(九江一中)等十四校高三第一次聯(lián)考】已知函數(shù)(其中且為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)若函數(shù)的極值點只有一個,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時,若(其中)恒成立,求的最小值的最大值.
【答案】(Ⅰ) 或;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)由題意可知函數(shù)的定義域為,其導(dǎo)數(shù)為.由或,設(shè),則,分類討論可得當(dāng)或時, 只有一個極值點.很明顯當(dāng)時, 只有一個極值點.當(dāng)時, 有、、三個極值點.則當(dāng)或時,函數(shù)只有一個極值點.
(Ⅱ)依題意得,令,則,分類討論:當(dāng)時, ,與恒成立矛盾;當(dāng)時,只需成立,則,問題轉(zhuǎn)化為求解的最小值,計算可得,即的最小值的最大值為.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,其導(dǎo)數(shù)為
.
由或,
設(shè),∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .
即在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減,∴,
又當(dāng)時, ,當(dāng)時, 且恒成立.
所以,當(dāng)或時,方程無根,函數(shù)只有一個極值點.
當(dāng)時,方程的根也為,此時的因式恒成立,
故函數(shù)只有一個極值點.
當(dāng)時,方程有兩個根、且, ,∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增; 單調(diào)遞減; 單調(diào)遞增,此時函數(shù)有、、三個極值點.
綜上所述,當(dāng)或時,函數(shù)只有一個極值點.
(Ⅱ)依題意得,令,則對,都有成立.
因為,所以當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
注意到,∴若,有成立,這與恒成立矛盾;
當(dāng)時,因為在上為減函數(shù),且,所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,
若對,都有成立,則只需成立,
,
當(dāng)時,則的最小值,∵,∴函數(shù)在上遞增,在上遞減,∴,即的最小值的最大值為;
綜上所述, 的最小值的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點與其短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,點在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點,與軸,軸分別交于點,,且,點是點關(guān)于軸的對稱點,的延長線交橢圓于點,過點,分別作軸的垂線,垂足分別為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點平分線段?若存在,求出直線的方程,若不存在請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程的兩根之和等于兩根之積的一半,則一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球運動員每次在罰球線投籃投進的概率是0.8,且各次投籃的結(jié)果互不影響.
(1)假設(shè)這名運動員投籃3次,求恰有2次投進的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示);
(2)假設(shè)這名運動員投籃3次,每次投進得1分,未投進得0分;在3次投籃中,若有2次連續(xù)投進,而另外一次未投進,則額外加1分;若3次全投進,則額外加3分,記為該籃球運動員投籃3次后的總分?jǐn)?shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128,且前三項系數(shù)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)若,展開式有多少有理項?寫出所有有理項.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓與圓外切于原點,且兩圓圓心的距離,以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓和圓的極坐標(biāo)方程;
(2)過點的直線、與圓異于點的交點分別為點和點,與圓異于點的交點分別為點和點,且.求四邊形面積的最大值.
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