Question

13．已知函數(shù)f（x）=2-$\frac{ax+2}{{e}^{x}}$（a∈R）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系分類討論即可求出參數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
則f′（x）=-$\frac{ax-a+2}{{e}^{x}}$，
若a＞0，令f′（x）＜0，解得x＜$\frac{a-2}{a}$，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{a-2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）單調(diào)遞增，
若a＜0，令f′（x）＞0，解得x＜$\frac{a-2}{a}$，令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{a-2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）單調(diào)遞減，
若a=0，f′（x）=$\frac{2}{{e}^{x}}$＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）注意到f（0）=0，即當(dāng)x≥0時，f（x）≥f（0），
①當(dāng)a＞0時，f（x）在（-∞，$\frac{a-2}{a}$）上單調(diào)遞減，關(guān)故由f（x）≥f（0）可得$\frac{a-2}{a}$≤0，解得0＜a≤2，
②當(dāng)a＜0時，$\frac{a-2}{a}$＞0，由于f（x）在[0，$\frac{a-2}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{a-2}{a}$，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜$\frac{a-2}{a}$時，f（x）＞f（0）=0，
當(dāng)x＞$\frac{a-2}{a}$時，-ax-2＞-a＞0，
f（x）=2-$\frac{ax+2}{{e}^{x}}$=2+$\frac{-ax-2}{{e}^{x}}$＞2，
故有f（x）＞0，
③當(dāng)a=0時，f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（0）恒成立，
綜上所述a的取值范圍為（-∞，2]

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用，求單調(diào)區(qū)間和最值，考查運算能力，分類討論的思想，屬于中檔題．