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【題目】已知函數,.

1)若函數有唯一的極小值點,求實數的取值范圍;

2)求證:.

【答案】1.2)證明見解析

【解析】

1)對函數進行求導,分類討論根據函數有唯一極小值點,最后求出實數的取值范圍;

2)對所要證明的式子進行變形,構造函數:,求導,最后利用函數的單調性證明出結論.

解:,

,

,,

,

時,,在時,,即,所以單調遞減,

時,,,所以單調遞增,所以函數有唯一的極小值

點成立;

時,令,得,,

時,,即,所以單調遞減,

時,,所以單調遞增,

所以函數有唯一的極小值點成立;

時,令,得,,當時不合題意,

,且,即,

,

時,,即,所以單調遞減,

時,,,所以單調遞增,

時,,即,所以單調遞減,

所以函數有唯一的極小值點成立;

綜上所述,的取值范圍為.

2)令,,

,

,易知上單增,且,

所以當時,,從而,當時,,從而

單減,在單增,則的最小值為,所以當時,

,即,

,所以,

所以.

練習冊系列答案
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()求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程;

()設點.若直線與曲線C相交于A,B兩點,求的值.

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