Question

【題目】已知橢圓：（）的右頂點(diǎn)與拋物線：（）的焦點(diǎn)重合.的離心率為，過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E，證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

（1）由題意可得，由于橢圓的離心率可得a，c的關(guān)系，進(jìn)而可得p，c的關(guān)系，再由過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為可得c的值，再由a，b，c的關(guān)系求出橢圓的方程及拋物線的方程；

（2）設(shè)直線的方程，及A，B的坐標(biāo)由題意可得E的坐標(biāo)，將直線與橢圓聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出直線的直線方程，將兩根之和及之積代入可得恒過定點(diǎn).

（1）由的離心率為，可得，所以，

因?yàn)闄E圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以，，

所以可得，

過的右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線截所得的弦長為，k令代入拋物線的方程：可得，所以，

即，解得，所以，

由可得，

所以橢圓和拋物線的方程分別為：，；

（2）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為：，設(shè)，，由題意可得，

直線與橢圓聯(lián)立：，

整理可得：，，

可得，，，

直線的方程為：，

整理可得：

所以當(dāng)時(shí)，，即過定點(diǎn)，

所以可證直線過定點(diǎn).