【題目】已知橢圓軸的正半軸相交于點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn),且是邊長為2的等邊三角形,若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

(1)直線的斜率之積是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由;

(2)求的面積的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】試題分析:第1)由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將,表示,也就是用表示,最終化出定值;

(2)將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

試題解析:(1)因?yàn)?/span>是邊長為2的等邊三角形,

所以,,所以

所以橢圓,點(diǎn).

將直線代入橢圓的方程,

整理得:,(*)

設(shè),則由(*)式可得

,

所以,,

所以直線的斜率之積

所以直線的斜率之積是定值.

(2)記直線軸的交點(diǎn)為,

當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.

所以的面積的最大值為.

點(diǎn)晴:本題主要考查橢圓基本量的計(jì)算,直線與橢圓相交中的定值、最值問題,考查轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第(1)問由基本量求出橢圓方程后,利用“設(shè)而不求”的思想,將,表示,也就是用表示,最終化出定值;第(2)問將面積用表示,化為關(guān)于的函數(shù),用基本不等式求最值.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè), .

(1)若,證明: 時, 成立;

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時,求函數(shù)上的最大值;

(2)令,若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;

(3)當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn),又的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明:<0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于的方程,給出下列四個判斷:

①存在實(shí)數(shù),使得方程恰有4個不同的實(shí)根;

②存在實(shí)數(shù),使得方程恰有5個不同的實(shí)根;

③存在實(shí)數(shù),使得方程恰有6個不同的實(shí)根;

④存在實(shí)數(shù),使得方程恰有8個不同的實(shí)根;

其中正確的為________(寫出所有判斷正確的序號).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)當(dāng)時,證明函數(shù)是單調(diào)函數(shù);

(2)當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,求的值;

(3)設(shè),是函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn),記線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,證明直線的斜率

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)證明除切點(diǎn)外,直線總在函數(shù)的圖像的上方;

(3)設(shè)是兩兩不相等的正實(shí)數(shù),且成等比數(shù)列,試判斷的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,F,F1分別是ACA1C1的中點(diǎn).

求證:(1)平面AB1F1∥平面C1BF;

(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某投資人欲將5百萬元獎金投入甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品,根據(jù)銀行預(yù)測,甲、乙兩種理財(cái)產(chǎn)品的收益與投入獎金的關(guān)系式分別為,其中為常數(shù)且.設(shè)對乙種產(chǎn)品投入獎金百萬元,其中

1)當(dāng)時,如何進(jìn)行投資才能使得總收益最大;(總收益

2)銀行為了吸儲,考慮到投資人的收益,無論投資人獎金如何分配,要使得總收益不低于,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x-+a(2-ln x)(a>0),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).

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