Question

（1）求直線y=x+1被雙曲線x2-

y2

4

=1截得的弦長；
（2）求過定點(diǎn)（0，1）的直線被雙曲線x2-

y2

4

=1截得的弦中點(diǎn)軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）直線y=x+1代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，即可求弦長；
（2）方法一：設(shè)直線的方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，可得關(guān)于k的表達(dá)式，消參，即可得到弦中點(diǎn)軌跡方程；
方法二：設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由

x2- y2 4 =1 y=x+1

得4x²-（x+1）²-4=0，即3x²-2x-5=0（*）
設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則有x1+x2=

2

3

，x1x2=-

5

3

得，d=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

4 9 + 20 3

=

8

3

2

（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點(diǎn)，則設(shè)直線的方程為y=kx+1，它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點(diǎn)為P（x，y），
由

y=kx+1 x2- y2 4 =1

得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴16k2＜80，|k|＜

5

，且x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=-

5

4-k2

，
∴x=

1

2

(x1+x2)=

k

4-k2

，y=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(x1+x2)+1=

4

4-k2

，
即

x= k 4-k2 y= 4 4-k2

，消去k得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：設(shè)弦的兩個端點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中點(diǎn)為P（x，y），則

4x12-y12=4 4x22-y22=4

，兩式相減得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

，即

y

x

=

4x

y-1

，即4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．

點(diǎn)評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．