(1)求直線y=x+1被雙曲線截得的弦長;
(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程.
【答案】分析:(1)直線y=x+1代入雙曲線方程,利用韋達(dá)定理,即可求弦長;
(2)方法一:設(shè)直線的方程代入雙曲線方程,利用韋達(dá)定理,可得關(guān)于k的表達(dá)式,消參,即可得到弦中點軌跡方程;
方法二:設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo),代入雙曲線方程,利用點差法,即可求得結(jié)論.
解答:解:(1)由得4x2-(x+1)2-4=0,即3x2-2x-5=0(*)
設(shè)方程(*)的解為x1,x2,則有得,
(2)方法一:若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點,則設(shè)直線的方程為y=kx+1,它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P(x,y),
得(4-k2)x2-2kx-5=0(*)
設(shè)方程(*)的解為x1,x2,則△=4k2+20(4-k2)>0,
,且,
,
,消去k得4x2-y2+y=0(y<-4或y>0).
方法二:設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),弦中點為P(x,y),則
,兩式相減得:4(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),
,即,即4x2-y2+y=0(y<-4或y>0).
點評:本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查點差法的運用,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系中,定義:(xn,yn)
11
1-1
=(xn+1yn+1)
,即
xn+1=xn+yn
yn+1=xn-yn
(n∈N*)為點Pn(xn,yn)到點Pn+1(xn+1,yn+1)的一個變換.我們把它稱為點變換(或矩陣變換).已知P1(1,0).
(1)求直線y=x在矩陣變換下的直線方程;
(2)設(shè)dn=|OPn|2(n∈N*),求證:dn為等比數(shù)列,并寫出dn的通項公式;
(3)設(shè)P2(x2,y2)…,Pn(xn+1,yn+1)(n∈N*)是經(jīng)過點變換得到的一列點.求數(shù)列xn,yn的通項公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)求直線y=x+1被雙曲線x2-
y2
4
=1
截得的弦長;
(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x2-
y2
4
=1
截得的弦中點軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)求直線y=x+1被雙曲線x2-
y2
4
=1
截得的弦長;
(2)求過定點(0,1)的直線被雙曲線x2-
y2
4
=1
截得的弦中點軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年上海市普陀區(qū)曹楊二中高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系中,定義:,即(n∈N*)為點Pn(xn,yn)到點Pn+1(xn+1,yn+1)的一個變換.我們把它稱為點變換(或矩陣變換).已知P1(1,0).
(1)求直線y=x在矩陣變換下的直線方程;
(2)設(shè)dn=|OPn|2(n∈N*),求證:dn為等比數(shù)列,并寫出dn的通項公式;
(3)設(shè)P2(x2,y2)…,Pn(xn+1,yn+1)(n∈N*)是經(jīng)過點變換得到的一列點.求數(shù)列xn,yn的通項公式.

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