Question

已知對(duì)任意平面向量

AB

=（x，y），我們把

AB

繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），稱(chēng)為

AB

逆旋θ角到

AP

．
（1）把向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，試求向量

b

．
（2）設(shè)平面內(nèi)函數(shù)y=f （x）圖象上的每一點(diǎn)M，把

OM

逆旋

π

4

角到

ON

后（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），得到的N點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)x²-y²=3，當(dāng)函數(shù)F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用新定義，結(jié)合向量

a

=（2，-1）逆旋

π

3

角到

b

，可求向量

b

；
（2）由題意函數(shù)F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，結(jié)合函數(shù)的圖象可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，

b

=（2cos

π

3

+sin

π

3

，2sin

π

3

-cos

π

3

）=（

2+ 3

2

，

2 3 -1

2

）；
（2）設(shè)M（x，y），N（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=3
∵

OM

逆旋

π

4

角到

ON

，∴（xcos

π

4

-ysin

π

4

，xsin

π

4

+ycos

π

4

）=（x₀，y₀），
∴x₀=

2

2

(x-y)，y₀=

2

2

(x+y)，
∵x₀²-y₀²=3，∴可得y=-

3

2x

，即f（x）=-

3

2x

函數(shù)F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解．
設(shè)g（x）=x|x-1|-2x=

(x- 3 2 )2- 9 4 ，x∈[1，+∞) -(x+ 1 2 )2+ 1 4 ，x∈(-∞，0)∪(0，1)

，圖象如圖
∵-

3λ

2

=x|x-1|-2x（x≠0）有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解
∴-

9

4

＜-

3λ

2

＜

1

4

，且-

3λ

2

≠0
∴-

1

6

＜λ＜

3

2

，且λ≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．