Question

已知對任意平面向量

AB

=（x，y），把

AB

繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量

AP

=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)的軌跡是曲線x²-y²=2，則原來曲線C的方程是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），根據(jù)把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P的定義，可求出其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P′（

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y)），另由點(diǎn)P′在曲線x²-y²=2上，代入該方程即可求得原來曲線C的方程．

解答：解：設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

π

4

后得到點(diǎn)P′（

2

2

(x-y)，

2

2

(x+y)），
∵點(diǎn)P′在曲線x²-y²=2上，
∴(

2

2

(x-y) )²-(

2

2

(x+y))²=2，
整理得xy=-1．
故答案為：xy=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題是基礎(chǔ)題．考查向量在幾何中的應(yīng)用以及圓錐曲線的軌跡問題，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀能力和分析解決問題的能力以及計(jì)算能力．