Question

四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，底面四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E為PC中點，F(xiàn)是線段DE上任意一點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）若點M為AB的中點，N為DC的中點，求證：平面EMN∥平面PAD；
（3）設(shè)P，A，F(xiàn)三點確定的平面為a，平面a與平面DEB的交線為l，試判斷直線PA與l的位置關(guān)系，并證明之．

Answer 1

證明：（1）令G為AD邊的中點，連接PG，BG
在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD為正三角形
∴BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又∵△PAD為正三角形，G為AD邊的中點，
∴PG⊥AD，
∵PG?平面PGB，BG?平面PGB，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PGB，
∵PB?平面PGB．
∴AD⊥PB．
（2）連接EM，EN
在△PCD中，
∵E，N分別為PC，CD的中點
∴EN∥PD
又∵EN?平面PAD，PD?平面PAD
∴EN∥平面PAD
在菱形ABCD中，點M為AB的中點，N為DC的中點，
∴MN∥AD
又∵MN?平面PAD，AD?平面PAD
∴MN∥平面PAD
又∵EN，MN?平面EMN且EN∩MN=N
∴平面EMN∥平面PAD
（3）直線PA與l平行，理由如下：
連接AC交BD于O，連接EO
根據(jù)菱形的對角線互相平分可得O為AC的中點，
又∵E為PC中點
∴EO∥PA
∵PA?平面DEB，EO?平面DEB
∴PA∥平面DEB
又∵PA?α，α∩平面DEB=l
∴PA∥l