【題目】某游戲棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，選手拋擲均勻硬幣進(jìn)行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)游戲過(guò)程中棋子出現(xiàn)在第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋子所走站數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）若最終棋子落在第站，則記選手落敗，若最終棋子落在第站，則記選手獲勝.請(qǐng)分析這個(gè)游戲是否公平.

【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望；（2）見解析；（3）游戲不公平.

【解析】

（1）由題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，求出相應(yīng)的概率，由此可得出隨機(jī)變量的分布列，并計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）棋子要到第站，分兩種情況討論：一是由第站跳站得到，二是由第站跳站得到，可得出，變形后可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)（2）中的的遞推公式得出和的大小關(guān)系，從而得出結(jié)論.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，

，，

，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，；

（2）依題意，當(dāng)時(shí)，棋子要到第站，有兩種情況：

由第站跳站得到，其概率為；

可以由第站跳站得到，其概率為.

所以，.

同時(shí)減去得；

（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率為，

由于若跳到第站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.

所以，即最終棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戲不公平.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求出線段AE的長(zhǎng)度；

（2）求出隧道CD的長(zhǎng)度.

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（1）若該樣本中男生有55人，試估計(jì)該學(xué)校高三年級(jí)女生總?cè)藬?shù)；

（2）若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；

（3）若規(guī)定分?jǐn)?shù)在為“良好”,為“優(yōu)秀”.用頻率估計(jì)概率,從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人,記該項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），將曲線上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn)．

（1）求曲線的參數(shù)方程和的取值范圍；

（2）求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．

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（1）根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖，估算年銷量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）將年銷售量落入各組的頻率視為概率，各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作年銷量的估計(jì)值，并假設(shè)每年的銷售量相互獨(dú)立.

①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)年銷售利潤(rùn)不低于270萬(wàn)元的概率：

②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤(rùn)的期望值作為決策的依據(jù)，試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個(gè)方案.（6年的凈利潤(rùn)=6年銷售利潤(rùn)-設(shè)備改進(jìn)投資費(fèi)用）

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A.B.C.D.

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【題目】(本小題滿分12分)

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消費(fèi)次第

第次

第次

第次

第次

次

收費(fèi)比率

該公司注冊(cè)的會(huì)員中沒(méi)有消費(fèi)超過(guò)次的,從注冊(cè)的會(huì)員中,隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)

次

次

次

次

次

人數(shù)

假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元,根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:

（1）某會(huì)員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤(rùn);

（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,設(shè)該公司為一位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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