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【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據面面垂直的性質得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，利用線面垂直的判定定理證得平面；

（2）設，利用椎體的體積公式求得 ，利用導數研究函數的單調性，從而求得時，四面體的體積取得最大值，之后利用空間向量求得二面角的余弦值.

（1）證明：因為，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，

因為平面，所以.

因為，所以，

所以，

因為，所以平面.

（2）解：設，則，

四面體的體積 .

，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

故當時，四面體的體積取得最大值.

以為坐標原點，建立空間直角坐標系，

則，，，，.

設平面的法向量為，

則，即，

令，得，

同理可得平面的一個法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】如上圖所示，在正方體中， 分別是棱的中點， 的頂點在棱與棱上運動，有以下四個命題：

A．平面 ； B．平面⊥平面；

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（Ⅰ）求證:平面；

（Ⅱ）求證:平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.

（1）證明：平面；

（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.

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（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設（），當為何值時，該計劃所需總費用最小？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點在平行于軸的直線上，且與軸的交點為，動點滿足平行于軸，且.

（1）求出點的軌跡方程.

（2）設點，，求的最小值，并寫出此時點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在處取得極值，不等式對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當時，證明不等式.

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