Question

某種特色水果每年的上市時(shí)間從4月1號(hào)開(kāi)始僅能持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間．上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢(shì)，中期價(jià)格開(kāi)始下跌，后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上繼續(xù)下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格變化的模擬函數(shù)可選擇：①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+7；③f（x）=log_q（x+p）．其中p，q均為常數(shù)且q＞1．（注：x表示上市時(shí)間，f（x）表示價(jià)格，記x=0表示4月1號(hào)，x=1表示5月1號(hào)，…，以此類(lèi)推，x∈[0，5]）
（Ⅰ）在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中，哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格變化態(tài)勢(shì)，請(qǐng)你選擇，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（Ⅱ）對(duì)（I）中所選的函數(shù)f（x），若f（2）=11，f（3）=10，記g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

，經(jīng)過(guò)多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)函數(shù)g（x）取得最大值時(shí)，拓展外銷(xiāo)市場(chǎng)的效果最為明顯，請(qǐng)預(yù)測(cè)明年拓展外銷(xiāo)市場(chǎng)的時(shí)間是幾月1號(hào)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲找出能較準(zhǔn)確體現(xiàn)該種水果的價(jià)格變化態(tài)勢(shì)的模擬函數(shù)，主要依據(jù)是該種水果價(jià)格變化趨勢(shì)，故可從三個(gè)函數(shù)的單調(diào)上考慮；
（Ⅱ）由題中條件：f（2）=11，f（3）=10得方程組，求出p，q即可，從而得到g（x）的解析式即可求出x取何值時(shí)函數(shù)g（x）取得最大值，得到所求．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，該種水果價(jià)格變化趨勢(shì)是先單調(diào)遞增后一直單調(diào)遞減，基本符合開(kāi)口向下的二次函數(shù)的變化趨勢(shì)，故應(yīng)該選擇②f（x）=px²+qx+7；
（Ⅱ）∵f（2）=11，f（3）=10，
∴

4p+2q+7=11 9p+3q+7=10

，
解得：

p=-1 q=4

，
∴f（x）=-x²+4x+7，
則g（x）=

f(x)-2x-13

x+1

=

-x2+2x-6

x+1

，
∴g（x）=-[

9

x+1

+（x+1）-4]≤-（2

9

-4）=-2，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=3即x=2時(shí)等號(hào)成立，
∴預(yù)測(cè)明年拓展外銷(xiāo)市場(chǎng)的時(shí)間是6月1號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．屬于中檔題．