【題目】已知橢圓的左焦點為F，點，過M的直線與橢圓E交于A，B兩點，線段AB中點為C，設橢圓E在A，B兩點處的切線相交于點P，O為坐標原點．

（1）證明：O、C、P三點共線；

（2）已知是拋物線的弦，所在直線過該拋物線的準線與y軸的交點，是弦在兩端點處的切線的交點，小明同學猜想：在定直線上．你認為小明猜想合理嗎？若合理，請寫出所在直線方程；若不合理，請說明理由．

【答案】（1）證明見解析； （2）合理，在直線上

【解析】

（1）設出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，利用導數(shù)求得任一點處切線的斜率，從而解得切線方程，得到點的坐標，由即可容易判斷；

（2）聯(lián)立的方程和拋物線方程，利用導數(shù)求得處的切線方程，結合已知條件，即可容易證明.

（1）設，，直線AB的方程為．聯(lián)立

，消去x整理得，

由﹐得或

，

由橢圓對稱性，設是橢圓在x軸上方的任意一點，

則由，得﹐

所以在處的切線斜率為，

故在處切線方程為，

結合化簡得

切線PA方程為：，同理，

聯(lián)立兩切線方程消去y得，

聯(lián)立解得，

由AB中點及可得

，、C、P三點共線．

（2）合理，在直線上．

證明如下：設，，

直線斜率一定存在，

聯(lián)立消去y得，

，

由得，．

拋物線在處的切線方程為，

同理在處的切線方程為

聯(lián)立解得，

故在直線上．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；

（2）試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若時，函數(shù)恰有兩個零點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校高三（1）班在一次語文測試結束后，發(fā)現(xiàn)同學們在背誦內容方面失分較為嚴重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早、晚讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學們對站起來大聲誦讀的態(tài)度，對全班50名同學進行調查，將調查結果進行整理后制成下表：

考試分數(shù)

頻數(shù)

5

10

15

5

10

5

贊成人數(shù)

4

6

9

3

6

4

（1）欲使測試優(yōu)秀率為30%，則優(yōu)秀分數(shù)線應定為多少分？

（2）依據(jù)第1問的結果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關系.

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】筆、墨、紙、硯是中國獨有的文書工具，即文房四寶.筆、墨、紙、硯之名，起源于南北朝時期，其中“紙”指的是宣紙，“始于唐代，產于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙，宣紙按質量等級分類可分為正牌和副牌（優(yōu)等品和合格品）某公司生產的宣紙為純手工制作，年產宣紙10000刀，該公司按照某種質量指標x給宣紙確定質量等級，如下表所示：

x的范圍

質量等級

正牌

副牌

廢品

公司在所生產的宣紙中隨機抽取了一刀（100張）進行檢驗，得到的頻率分布直方圖如上圖所示.已知每張正牌宣紙的利潤為12元，副牌宣紙的利潤為6元，廢品宣紙的利潤為-12元.

（1）試估計該公司生產宣紙的利潤；

（2）該公司預備購買一種售價為100萬元的機器改進生產工藝，這種機器使用壽命為一年，不影響產量，這種機器生產的宣紙的質量指標x服從正態(tài)分布，改進工藝后正牌和副牌宣紙的利潤都將受到不同程度的影響，觀測的數(shù)據(jù)如下表所示：

x的范圍

一張宣紙的利潤

12

8

8

3

頻率

0.5

0.5

0.5

0.5

將頻率視為概率，請判斷該公司是否應該購買這種機器，并說明理由.

附：若，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以原點為極點，以軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（為常數(shù)，且），直線與曲線交于兩點.

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）若點的直角坐標為，且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校為進一步規(guī)范校園管理，強化飲食安全，提出了“遠離外賣，健康飲食”的口號．當然，也需要學校食堂能提供安全豐富的菜品來滿足同學們的需求．在學期末，校學生會為了調研學生對本校食堂A部和B部的用餐滿意度，從在A部和B部都用過餐的學生中隨機抽取了200人，每人分別對其評分，滿分為100分．隨后整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)分成6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到A部分數(shù)的頻率分布直方圖和B部分數(shù)的頻數(shù)分布表．

分數(shù)區(qū)間

頻數(shù)

7

18

21

24

70

60

定義：學生對食堂的“滿意度指數(shù)”

分數(shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

3

4

5

（1）求A部得分的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；

（2）A部為進一步改善經營，從打分在80分以下的前四組中，采用分層抽樣的方法抽取8人進行座談，再從這8人中隨機抽取3人參與“端午節(jié)包粽子”實踐活動，在第3組抽到1人的情況下，第4組抽到2人的概率；

（3）如果根據(jù)調研結果評選學生放心餐廳，應該評選A部還是B部（將頻率視為概率）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調性；

（2）若存在兩個極值點，且關于的方程恰有三個實數(shù)根，，，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為，準線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經過點.

（1）求的值及該圓的方程；

（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解某品種一批樹苗生長情況，在該批樹苗中隨機抽取了容量為120的樣本，測量樹苗高度(單位：cm)，經統(tǒng)計，其高度均在區(qū)間[19，31]內，將其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中高度為27cm及以上的樹苗為優(yōu)質樹苗.

（1）求圖中a的值，并估計這批樹苗高度的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

（2）已知所抽取的這120棵樹苗來自于AB兩個試驗區(qū)，部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表：將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.9%的把握認為優(yōu)質樹苗與A，B兩個試驗區(qū)有關系，并說明理由.

參考數(shù)據(jù)：

參考公式：，其中

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