【題目】已知橢圓的離心率為，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），求線段長(zhǎng)度的取值范圍．

【答案】（1） ；（2）．

【解析】

（1）橢圓的離心率和其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積，得，，方程組求解，即可寫出橢圓方程．

（2）直線與圓相切得，，再聯(lián)立直線和橢圓，得到關(guān)于的一元二次方程，利用由韋達(dá)定理分別得到，，，，將表示為關(guān)于的函數(shù)，再求取值范圍．

（1）橢圓的離心率為，

，即，①

又其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．

，即，②

，③

由①②③得，，，

橢圓方程為．

（2）直線與圓相切，

，即，

直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)和，設(shè)，，，，

聯(lián)立，得，

△，

，，

，，

，，

又因?yàn)?/span>，

把上面 代入上式，得，

，又，

，∴，

令則，，所以，

線段長(zhǎng)度的取值范圍．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，直線的斜率為，記直線，的斜率分別為，，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某海濕地如圖所示，A、B和C、D分別是以點(diǎn)O為中心在東西方向和南北方向設(shè)置的四個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，它們到點(diǎn)O的距離均為公里，實(shí)線PQST是一條觀光長(zhǎng)廊，其中，PQ段上的任意一點(diǎn)到觀測(cè)點(diǎn)C的距離比到觀測(cè)點(diǎn)D的距離都多8公里，QS段上的任意一點(diǎn)到中心點(diǎn)O的距離都相等，ST段上的任意一點(diǎn)到觀測(cè)點(diǎn)A的距離比到觀測(cè)點(diǎn)B的距離都多8公里，以O為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

（1）求觀光長(zhǎng)廊PQST所在的曲線的方程；

（2）在觀光長(zhǎng)廊的PQ段上，需建一服務(wù)站M，使其到觀測(cè)點(diǎn)A的距離最近，問(wèn)如何設(shè)置服務(wù)站M的位置?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司推出一新款手機(jī)，因其功能強(qiáng)大，外觀新潮，一上市便受到消費(fèi)者爭(zhēng)相搶購(gòu)，銷量呈上升趨勢(shì).散點(diǎn)圖是該款手機(jī)上市后前6周的銷售數(shù)據(jù).

（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖，用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該款手機(jī)第8周的銷量；

（Ⅱ）為了分析市場(chǎng)趨勢(shì)，該公司市場(chǎng)部從前6周的銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2周的數(shù)據(jù)，求抽到的這2周的銷量均在20萬(wàn)臺(tái)以下的概率.

參考公式：回歸直線方程，其中：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，五邊形ABSCD中，四邊形ABCD為矩形，AB＝1，△BSC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，將△BSC沿BC折起，使得側(cè)面SAD垂直于平面ABCD，E、F分別為SA、DC的中點(diǎn)．

（1）求證：EF∥面SBC；

（2）求四棱錐S﹣ABCD的側(cè)面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，一塊長(zhǎng)方形區(qū)域，，，在邊的中點(diǎn)處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角始終為，設(shè)，探照燈照射在長(zhǎng)方形內(nèi)部區(qū)域的面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，則（　�。�

A. 曲線y＝f（x）+g（x）不是軸對(duì)稱圖形

B. 曲線y＝f（x）﹣g（x）是中心對(duì)稱圖形

C. 函數(shù)y＝f（x）g（x）是周期函數(shù)

D. 函數(shù)最大值為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解（其中e＝2．71828… 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )

A. （，] B. （，] C. [，） D. [，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在底面是正三角形、側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，點(diǎn)M是A1B1的中點(diǎn)．

（1）證明：MC1⊥AB1．

（2）求直線AC1與側(cè)面BB1C1C所成角的正弦值．

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