【題目】已知橢圓C:l(a>b>0)經(jīng)過點(,1),且離心率e.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與橢圓C相交于AB兩點,且滿足∠AOB=90°(O為坐標原點),求|AB|的取值范圍.
【答案】(1);(2)[,2].
【解析】
(1)點的坐標代入可得一個關(guān)系式,離心率得,結(jié)合可求得,得橢圓方程;
(2)當直線l的斜率不存在時, 設直線l為:x=m,代入計算,當直線的斜率存在時,設直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理,由韋達定理得,代入得出的關(guān)系,計算,用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的取值范圍得出結(jié)論.
(1)由題意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以橢圓的方程為:;
(2)當直線l的斜率不存在時,設直線l為:x=m,A(x,y),B(,),代入橢中:y2=4(1),
∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,
∴|AB|=|y﹣|=4;
當直線的斜率存在時,設直線為:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入橢圓中整理得:
(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,
∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k2,
|AB|,
令t∈(0,1],所以|AB|,
當t,g(t)=1(t2﹣t)最大為 ,t=1時,g(t)取得最小值1,
綜上所述:|AB|的取值范圍[,2].
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【題目】已知拋物線的頂點為平面直角坐標系的坐標原點,焦點為圓的圓心.經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點,交圓于兩點,在第一象限,在第四象限.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否存在直線使是與的等差中項?若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】某摩托車生產(chǎn)企業(yè),上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1),則出廠價相應的提高比例為0.75x,同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價﹣投入成本)×年銷售量.
(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;
(2)為使本年度的年利潤比上年有所增加,問投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)?
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【題目】設圓C與兩圓,中的一個內(nèi)切,另一個外切.
(1)求C的圓心軌跡L的方程;
(2)已知點,,且P為L上動點,求的最大值及此時點P的坐標.
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【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若討論的單調(diào)性;
(2)當時,若函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點,求的值(其中表示不超過的最大整數(shù),如.
參考數(shù)據(jù):
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【題目】輥子是客家傳統(tǒng)農(nóng)具,南方農(nóng)民犁開田地后,仍有大的土塊.農(nóng)人便用六片葉齒組成輥軸,兩側(cè)裝上木板,人跨開兩腳站立,既能掌握平衡,又能增加重量,讓牛拉動輥軸前進,壓碎土塊,以利于耕種.這六片葉齒又對應著菩薩六度,即布施持戒忍辱精進禪定與般若.若甲乙每人依次有放回地從這六片葉齒中隨機取一片,則這兩人選的葉齒對應的“度”相同的概率為______.
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