Question

【題目】如圖，已知橢圓 =1（a＞b＞0），F(xiàn)1 ， F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B．

（1）若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦距為2，且 =2 ，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：若∠F1AB=90°，則△AOF2為等腰直角三角形．則|OA|=|OF2|，即b=c．

∴a= = c，

橢圓的離心率e= = ；

（2）由題知2c=2，c=1，則A（0，b），F(xiàn)2（1，0），設B（x，y），

由 =2 ，即（1，﹣b）=2（x﹣1，y），

∴ ，解得x= ，y=﹣ ．

代入橢圓 =1，即 解得a2=3．b2=a2﹣c2=2，

∴橢圓方程為 ．

【解析】（1）若∠F1AB=90°，則△AOF2為等腰直角三角形．即b=c．則可求出e的值。
（2）有題目可知A（0，b），F(xiàn)2（1，0），設B（x，y）。由可得B點坐標，代入橢圓方程即可。