Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+1

-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求證：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
（3）求使f（x）＞0對(duì)一切x∈R^*恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先通過(guò)兩邊平方將無(wú)理不等式轉(zhuǎn)換為一元二次不等式，再解含參數(shù)的一元二次不等式，通過(guò)討論參數(shù)a的范圍得不等式f（x）≤1的解集
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，通過(guò)證明f′（x）在區(qū)間[0，+∞）上恒不大于零，即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
（3）f（x）＞0對(duì)一切x∈R^*恒成立等價(jià)于a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

對(duì)一切x∈R^*恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

1+ 1 x2

的下確界，讓a比此函數(shù)的下確界不大即可

解答：解：（1）

x2+1

-ax≤1⇒

x2+1

≤ax+1⇒(1-a2)x2-2ax≤0
當(dāng)a=1時(shí)，x∈[0，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[0，

2a

1-a2

]
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈(-∞，

2a

1-a2

]∪[0，+∞)
證明：（2）∵f/(x)=

x

x2+1

-a＜

x

x2

-a=1-a≤0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)
解：（3）f（x）＞0即

x2+1

＞ax⇒a＜

x2+1

x

=

1+ 1 x2

∵

1+ 1 x2

∈（1，+∞）
所以 0＜a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考察了含參數(shù)的一元二次不等式的解法，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，解題時(shí)要有轉(zhuǎn)化化歸的解題思想