Question

設函數f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

(x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*)，f（x）的最小值為a_n，最大值為b_n，記c_n=（1-a_n）（1-b_n）
則數列{c_n}是

常數

數列．（填等比、等差、常數或其他沒有規(guī)律）

Answer 1

分析：先利用判別式法求出函數的值域，從而求出a_n與b_n，代入c_n=（1-a_n）（1-b_n），然后判定數列{c_n}的規(guī)律．

解答：解：令y=f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

(x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*)，
則y（x²+x+1）=x²-x+n
整理得：（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0
△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0
解得：

3+2n-2 n2+1

3

≤y≤

3+2n+2 n2+1

3

∴f（x）的最小值為a_n=

3+2n-2 n2+1

3

，最大值為b_n=

3+2n+2 n2+1

3

c_n=（1-a_n）（1-b_n）=-

4

3

∴數列{c_n}是常數數列
故答案為：常數

點評：本題主要考查了分式函數的值域，以及數列的判定，同時考查了計算能力，屬于中檔題．