【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓C1:(x+3)2+(y﹣1)2=4和圓C2:(x﹣4)2+(y﹣5)2=4
(1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2 ,求直線(xiàn)l的方程
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿(mǎn)足:存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線(xiàn)l1和l2 , 它們分別與圓C1和C2相交,且直線(xiàn)l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:由于直線(xiàn)x=4與圓C1不相交;

∴直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)l方程為:y=k(x﹣4)

圓C1的圓心到直線(xiàn)l的距離為d,∵l被⊙C1截得的弦長(zhǎng)為2

∴d= =1

d= 從而k(24k+7)=0即k=0或k=﹣

∴直線(xiàn)l的方程為:y=0或7x+24y﹣28=0


(2)解:設(shè)點(diǎn)P(a,b)滿(mǎn)足條件,

由題意分析可得直線(xiàn)l1、l2的斜率均存在且不為0,

不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y﹣b=k(x﹣a),k≠0

則直線(xiàn)l2方程為:y﹣b=﹣ (x﹣a)

∵⊙C1和⊙C2的半徑相等,及直線(xiàn)l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,

∴⊙C1的圓心到直線(xiàn)l1的距離和圓C2的圓心到直線(xiàn)l2的距離相等

=

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3或(a﹣b+8)k=a+b﹣5

因k的取值有無(wú)窮多個(gè),所以

解得

這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P1 ,﹣ )或點(diǎn)P2(﹣


【解析】(1)因?yàn)橹本(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A(4,0),故可以設(shè)出直線(xiàn)l的點(diǎn)斜式方程,又由直線(xiàn)被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2 ,根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足勾股定理,我們可以求出弦心距,即圓心到直線(xiàn)的距離,得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直線(xiàn)l的方程.(2)與(1)相同,我們可以設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)l1與l2的點(diǎn)斜式方程,由于兩直線(xiàn)斜率為1,且直線(xiàn)l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線(xiàn)l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線(xiàn)斜率k的方程,解方程求出k值,代入即得直線(xiàn)l1與l2的方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅲ)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)容量為6的樣本,再?gòu)倪@6個(gè)樣本中任取2人成績(jī),求至多有1人成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率.

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A.x﹣2y﹣1=0
B.x﹣2y+1=0
C.3x﹣2y+1=0
D.x+2y+3=0

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單價(jià)x(單位:元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

銷(xiāo)量y(單位:萬(wàn)件)

90

84

83

80

75

68


(1)現(xiàn)有三條y對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程: =﹣10x+170; =﹣20x+250; =﹣15x+210;根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí),選擇一條合理的回歸直線(xiàn),并說(shuō)明理由.
(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)服從(1)中選出的回歸直線(xiàn)方程,且該產(chǎn)品的成本是每件5元,為使公司獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定多少元?(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入﹣成本)

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431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),這三天中恰有兩天下雨的概率近似為(
A.0.35
B.0.25
C.0.20
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88

89

92

90

91

84

88

96

89

93

(Ⅰ)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(Ⅱ)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.(用樣本數(shù)據(jù)特征來(lái)說(shuō)明.)

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