Question

設(shè)

a

、

b

為兩非零向量，且滿足|

a

|+|

b

|=2，2

a

•

b

=

a

²•

b

²，則兩向量

a

、

b

的夾角的最小值為

π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)兩向量

a

、

b

的夾角為θ，|

a

|=t（t＞0），由已知可得，2|

a

||

b

|cosθ=|

a

|2|

b

|2，即cosθ=

| a || b |

2

=

-t2+2t

2

（t＞0），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求cosθ的最小值，即可求解θ的最大值

解答：解：設(shè)兩向量

a

、

b

的夾角為θ，|

a

|=t（t＞0）
∵|

a

|+|

b

|=2，則|

b

|=2-t
∵2

a

•

b

=

a

²•

b

²，
∴2|

a

||

b

|cosθ=|

a

|2|

b

|2
∴cosθ=

| a || b |

2

=

-t2+2t

2

（t＞0）
設(shè)f（t）=

-t2+2t

2

（t＞0），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t=1，f（t）有最大值

1

2

∴cosθ≤

1

2

∴θ≥

π

3

即最小值為

π

3

故答案為：

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用