定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有 成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的一個(gè)上界.
已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)-1;(2);(3)
解析試題分析:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2e/b/khaay.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù),所以根據(jù)奇函數(shù)的定義可得一個(gè)等式.根據(jù)等式在定義域內(nèi)恒成立可求得的值,由于真數(shù)大于零,所以排除.即可得到結(jié)論.
(2)由(1)得到的值表示出函數(shù)g(x),根據(jù)函數(shù)的定義域可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以上,.即.所以可得.即存在常數(shù),都有.所以所有上界構(gòu)成的集合.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)在上是以3為上界的有界函數(shù),所以根據(jù)題意可得在上恒成立.所得的不等式,再通過分離變量求得的范圍.
試題解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),
所以,即,
即,得,而當(dāng)時(shí)不合題意,故. 4分
(2)由(1)得:,
下面證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
證明略. 6分
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/f/a2czp3.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,故函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成集合為. 8分
(3)由題意知,在上恒成立.
,.
在上恒成立.
10分
設(shè),,,由得,
設(shè),,
,
所以在上遞減,在上遞增, 12分
在上的最大值為,在上的最小值為 .
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. &
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤(x+c)2;
(2)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)(a>1),若函數(shù)y=g(x)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.
(1)寫出函數(shù)g(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),.
(1)若,判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)若函數(shù)在上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng),函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且時(shí),求的值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)(其中是實(shí)數(shù)常數(shù),)
(1)若,函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)(—1,3)成中心對(duì)稱,求的值;
(2)若函數(shù)滿足條件(1),且對(duì)任意,總有,求的取值范圍;
(3)若b=0,函數(shù)是奇函數(shù),,,且對(duì)任意時(shí),不等式恒成立,求負(fù)實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),,為常數(shù)
(1)求的最小值的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整數(shù),使得對(duì)于任意均成立,若存在,求出 的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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