Question

【題目】已知函數(shù) （ 為常數(shù)）與 軸有唯一的公關(guān)點(diǎn) ．
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）曲線 在點(diǎn) 處的切線斜率為 ，若存在不相等的正實(shí)數(shù) ，滿足 ，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)? ，且 ，
故由題意可知曲線 與 軸存在公共點(diǎn) ，又 ，則有
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在定義域上遞增，滿足條件；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上遞減，在 上遞增，
①若 時(shí)，則 ，取 ，則 ，
故由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù) 在 上還有一個(gè)零點(diǎn)，因此不符合題意；
②若 ，則函數(shù) 的極小值為 ，符合題意；
③若 ，則由函數(shù) 的單調(diào)性，有 ，取 ，有 ．下面研究函數(shù)
， ，因?yàn)? 恒成立，故函數(shù) 在 上遞增，故 ，故 成立，函數(shù) 在區(qū)間 上存在零點(diǎn)．
不符合題意．
綜上所述：
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為 ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的遞增區(qū)間為 ，無遞減區(qū)間．
（Ⅱ）容易知道函數(shù) 在 處的切線斜率為 ，得 ，
由（Ⅰ）可知 ，且函數(shù) 在區(qū)間 上遞增．
不妨設(shè) ，因?yàn)? ，則 ，
則有 ，整理得 ，
由基本不等式得 ，故 ，整理得 ，即 ．
由函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，所以 ，即 ．
【解析】(1)根據(jù)題意由函數(shù) f ( x ) = x a ln x 1 的定義域?yàn)?( 0 , + ∞ ) ，且 f ( 1 ) = 0 ，故由題意可知曲線 f ( x ) 與 x 軸存在公共點(diǎn) A ( 1 , 0 )，對f(x) 求導(dǎo)借助導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系求出原函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)定理對a分情況討論即可得出結(jié)論。(2)利用(1)的結(jié)論可求出導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)的函數(shù)值即為直線的斜率值，進(jìn)而得到a的值再利用增函數(shù)的定義以及基本不等式即可證明結(jié)論。