Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得對(duì)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立；

（3）求證：．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有

．      （*）

，．   （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．   

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．   

設(shè)，，

，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．    

（2）當(dāng)時(shí)，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．

，解得．因此，的最大值為． 

（3）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，

即． 令，得，   

化簡(jiǎn)得， 

．