Question

已知直線l：y=kx+b，曲線M：y=|x²-2|．
（1）若k=1且直線與曲線恰有三個公共點時，求實數(shù)b的取值；
（2）若b=1，直線與曲線M的交點依次為A，B，C，D四點，求|AB+|CD|的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，直線和半圓只有一個交點或直線過點（-

2

，0），兩種情況分別求出實數(shù)b的取值．
（Ⅱ）先利用弦長公式求出直線和拋物段的2個交點間的距離AD的長度，同理求出直線與半圓的2個交點間的距離
BC的長度，利用|AB|+|CD|=|AD|-|BC|求出|AB+|CD|的取值范圍．

解答：解（Ⅰ）分兩種情況：
1）

y=x+b y=-x2+2

有惟一解，即x²+x+b-2=0在（-

2

，

2

）內(nèi)有一解，
由△=1-4b+8=0，得 b=

9

4

，符合．
2）直線過點（-

2

，0），得0=-

2

+b，得b=

2

，
綜上，實數(shù)b為

9

4

 或

2

．
（Ⅱ）由

y=x2-2|x|≥ 2 y=kx+1

，得x²-kx-3=0，
則有：|AD|=

(k2+1)(k2+12)

，且  -

2

2

＜k＜

2

2

．
由

y=-x2+2|x|＜ 2 y=kx+1

，得 x²+kx-1=0，則有：|BC|=

(k2+1)(k2+4)

．
所以，|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=

(k2+1)(k2+12)

-

(k2+1)(k2+4)

=

8 k2+1

k2+12 + k2+4

=

8

1+ 11 k2+1 + 1+ 3 k2+1

，且 -

2

2

＜k＜

2

2

．
令t=k²，則 0≤t＜

1

2

，則y=

(t+1)(t+12)

-

(t+1)(t+4)

，且函數(shù)y是增函數(shù)，
所以，y∈[2

3

-2，

3

)．

點評：本題考查二次函數(shù)的圖象特征，直線和二次曲線的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．