Question

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=(-

12

5

， 1)，求當

m

•

n

取最小值時，tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的正弦函數化簡已知表達式，根據三角形的內角求出B的大小；
（Ⅱ）由

m

=（cosA，cos2A），n=(-

12

5

 ， 1)，化簡

m

•

n

求出最小值時A的值，然后求出tanA，再求tan(A-

π

4

)值．

解答：解：（Ⅰ）因為2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．（3分）
因為0＜A＜π，所以sinA≠0．
所以cosB=

1

2

．（5分）
因為0＜B＜π，所以B=

π

3

．（7分）
（Ⅱ）因為

m

•

n

=- 

12

5

cosA+cos2A，（8分）
所以

m

•

n

=- 

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

．（10分）
所以當cosA=

3

5

時，m•n取得最小值．
此時sinA=

4

5

（0＜A＜π），于是tanA=

4

3

．（12分）
所以tan(A-

π

4

)=

tanA-1

tanA+1

=

1

7

．（13分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，向量的數量積的應用，同角三角函數的基本關系式的應用，注意角的范圍與三角函數值的符號，考查計算能力．