Question

已知函數(shù)y=x3-2x2+x+3，x∈[

2

3

，1]，求此函數(shù)的
（1）單調(diào)區(qū)間；
（2）值域．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)y′=3x²-4x+1，討論導數(shù)的正負即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）研究函數(shù)在區(qū)間[

2

3

，1]上的單調(diào)性，得出函數(shù)為減函數(shù)的性質(zhì)，從而得出f（

2

3

）是最大值，f（1）是最小值，進而得出函數(shù)的值域．

解答：解：（1）y′=3x²-4x+1  （ 2分）     
由y′=0，得x1=

1

3

，x2=1．（4分）
所以，對任意x∈[

2

3

，1]，都有y′＜0，
因而，所求單調(diào)遞減區(qū)間為[

2

3

，1]．（6分）
（2）由（1）知，y最大=f(

2

3

)=3

2

27

，（8分）
y_最小=f（1）=3．
所求函數(shù)值域為[3，3

2

27

]．（10分）

點評：本題考查了利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值，屬于中檔題．討論導數(shù)的零點，在零點的兩側(cè)研究導數(shù)的正負，是研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵．