【題目】已知點在橢圓內(nèi),過的直線與橢圓相交于A,B兩點,且點是線段AB的中點,O為坐標原點.
(Ⅰ)是否存在實數(shù)t,使直線和直線OP的傾斜角互補?若存在,求出的值,若不存在,試說明理由;
(Ⅱ)求面積S的最大值.
【答案】( Ⅰ)存在;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:
(Ⅰ)設出直線方程為,代入橢圓方程得關于的一元二次方程,設,則可得,利用可建立的關系,即,上面的一元二次方程有兩個不等實根,即判別式,由此可得的范圍.注意特殊情形的討論,最后由直線和直線的傾斜角互補,即斜率和為0可求得,若不能求出,說明不存在);(Ⅱ)利用(Ⅰ)得直線方程為,關鍵是由表示出, ,這是的函數(shù),可函數(shù)知識易求最值.
試題解析:
(Ⅰ)存在.
由題意直線的斜率必存在,設直線的方程
是
代入得:
.(1)
設,,則,即,
解得:,
此時方程(1)即
由解得,,
(或由解得,)
當時,顯然不符合題意;
當時,設直線的斜率為,只需,
即,解得,均符合題意.
(Ⅱ)由(1)知的方程是,
所以,
,
因為,所以當時,.
點晴:解析幾何中存在性問題的求解方法:
1.通常采用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化,其步驟為:假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設出,列出關于特定參數(shù)的方程組,若方程組有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,否則(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.
2.反證法與驗證法也是求解存在性問題的常用方法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中新網(wǎng)2016年12月19日電根據(jù)預報,今天開始霧霾范圍將進一步擴大, 日夜間至日,霧霾嚴重時段部分地區(qū)濃度峰值會超過微克/立方米. 而此輪霧霾最嚴重的時段,將有包括京津冀、山西、陜西、河南等個省市在內(nèi)的地區(qū)被霧霾籠罩. 是指大氣中直徑小于或等于微米的顆粒物,也稱為可人肺顆粒物. 日均值在微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標.某地區(qū)在2016年12月19日至28日每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)的莖葉圖如下:
(1)求出這些數(shù)據(jù)的中位數(shù)與極差;
(2)從所給的空氣質(zhì)量不超標的天的數(shù)據(jù)中任意抽取天的數(shù)據(jù),求這天中恰好有天空氣質(zhì)量為一級,另一天空氣質(zhì)量為二級的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù) 是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù),且 .
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)證明函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),| ﹣ |= .
(1)求cos(α﹣β)的值;
(2)若﹣ <β<0<α< ,且sinβ=﹣ ,求sinα的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x+ ),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最大值和最小值;
(3)若f(α)= ,求sin 2α的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖如圖所示.(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示[1 000,1 500)。
(1)求居民收入在[2000,3 000)的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系,必須按月收入再從這10 000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析,則月收入在[2 000,3 000)的這段應抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I)求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間;
(II)是否存在常數(shù),使得對于定義域內(nèi)的任意恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】.(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形E,F分別為PC,BD的中點,側面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD.
(Ⅰ)求證:EF//平面PAD;
(Ⅱ)求三棱錐C—PBD的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列, 為前項和, 和的等差中項為,且.令數(shù)列的前項和為.
(1)求及;
(2)是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列?若存在,求出所有的的值;若不存在,請說明理由.
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