已知a∈R，函數(shù)f(x)＝＋ln x－1.
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值．
(1) x－4y＋4ln 2－4＝0   (2) 當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無最小值；
當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為ln a；
當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為.
解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝.
即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為.
又f(2)＝ln 2－，
所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－＝ (x－2)，
即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因?yàn)閒(x)＝＋ln x－1，
x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0，則f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無最小值．
②若0<a<e，則當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(a，e]時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，則當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無最小值；
當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為ln a；
當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)M處的切線為，與軸的交點(diǎn)N處的切線為， 并且與平行.
（1）求的值；
（2）已知實(shí)數(shù)t∈R，求的取值范圍及函數(shù)的最小值；
（3）令，給定，對(duì)于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足：，，并且使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝ax＋x2，g(x)＝xln a，a>1.
(1)求證：函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)若函數(shù)y＝－3有四個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍；
(3)若對(duì)于任意的x1，x2∈[－1,1]時(shí)，都有|F(x2)－F(x1)|≤e2－2恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中的函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．
（1）確定與的關(guān)系；    （2）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（）證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝x，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)（、、為常數(shù)），當(dāng)時(shí)取極大值，當(dāng)時(shí)取極小值，則的取值范圍是（  ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是(　　)
①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x；③f(x)＝ln x；④f(x)＝tan x；⑤f(x)＝.
A．①③⑤B．③④C．②③④D．②⑤

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f(x)＝－xln x＋ax在(0，e)上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)＝|ex－a|＋，當(dāng)x∈[0，ln 3]時(shí)，函數(shù)g(x)的最大值M與最小值m的差為，則a＝________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf′(x)<0的解集為________．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案