【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,如圖所示,已知橢圓的左、右頂點分別為,,右焦點為.設(shè)過點的直線,與此橢圓分別交于點,,其中,,.

(1)設(shè)動點滿足:,求點的軌跡;

(2)設(shè),,求點的坐標(biāo);

(3)設(shè),求證:直線必過軸上的一定點(其坐標(biāo)與無關(guān)),并求出該定點的坐標(biāo).

【答案】(1) 的軌跡為直線. (2) (3) 直線必過軸上一定點.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得、、的坐標(biāo),設(shè)動點.根據(jù)條件,結(jié)合兩點間距離公式,化簡即可得解.

(2)根據(jù),代入橢圓方程即可求得、的坐標(biāo).進而求得直線與直線的方程.聯(lián)立兩條直線方程即可求得交點的坐標(biāo).

(3)設(shè)出直線與直線的方程,分別聯(lián)立橢圓方程即可表示出、的坐標(biāo).討論,并分別求得的值.即可求得所過定點的坐標(biāo).

1)由題設(shè)得,,,,設(shè)動點,

,,,

代入化簡得.

故點的軌跡為直線

(2)由,,,則點,

直線的方程為,

,,,則點.

直線的方程為,

.解方程組可得

(3)由題設(shè)知,直線的方程為:,直線的方程為:,

滿足,,;

滿足,,;

,,得,

此時直線的方程為,過點;

,則,直線的斜率,

直線的斜率,

所以,所以直線過點.

因此直線必過軸上一定點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)y的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是“恰當(dāng)回歸方程”.

(1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”;

(2)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?

附:對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,離心率等于,它的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)已知、)是橢圓上的兩點,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點,且直線的斜率為.

①求四邊形APBQ的面積的最大值;

②求證:.

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【題目】2014·長春模擬)對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(m/s)的數(shù)據(jù)如下表:


27

38

30

37

35

31


33

29

38

34

28

36

(1)畫出莖葉圖.

(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差,并判斷選誰參加比賽更合適?

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【題目】國際奧委會將于2017年9月15日在秘魯利馬召開130次會議決定2024年第33屆奧運會舉辦地。目前德國漢堡、美國波士頓等申辦城市因市民擔(dān)心賽事費用超支而相繼退出。某機構(gòu)為調(diào)查我國公民對申辦奧運會的態(tài)度,選了某小區(qū)的100位居民調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下:

(1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),把表格數(shù)據(jù)填寫完整;

(2)能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認(rèn)為不同年齡與支持申辦奧運無關(guān)?

(3)已知在被調(diào)查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性,其中2位是女教師,現(xiàn)從這5名女性中隨機抽取3人,求至多有1位教師的概率.

附: , .

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(3)求證:.

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