精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知的三個頂點都在拋物線上，且拋物線的焦點滿足，若邊上的中線所在直線的方程為（為常數且）．
（1）求的值；
（2）為拋物線的頂點，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

（1）；（2）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）由已知，拋物線的焦點滿足，從而知BC邊上的中點符合，因此點在直線上，令，可得拋物線的焦點的坐標，由此可求得的值；（2）首先設出的坐標：，由已知，即可得，而，最終即可證得為定值．
試題解析：（1）因為拋物線的焦點滿足，取BC邊上的中點，則，故點在直線上，令，得，得拋物線的焦點，于是，．                                    5分
（2）記，由知：，     7分
且．于是，
．證畢．                                13分
考點：1．拋物線的標準方程及其簡單幾何性質；2．直線與拋物線的位置關系；3．解析幾何中定值問題的解法．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線-=1(b∈N*)的左、右兩個焦點為F1、F2,P是雙曲線上的一點,且滿足|PF1||PF2|=|F1F2|2,|PF2|<4.
(1)求b的值;
(2)拋物線y2=2px(p>0)的焦點與該雙曲線的右頂點重合,斜率為1的直線經過右頂點,與該拋物線交于A、B兩點,求弦長|AB|.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，F1、F2分別是橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°.

(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

平面直角坐標系xoy中，動點滿足：點P到定點與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直線交直線于點D，求證：直線DB平行于x軸．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程.
(2)在(1)的條件下,設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
(3)過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設＝t，求實數t的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點．

(1)求實數m的取值范圍；
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，與在第一和第四象限的交點分別為.
（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
（2）若，求橢圓的離心率；
（3）點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，過點A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，短軸端點為B1、B2，＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R.過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P.若AQ·AR＝3OP2，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案