Question

已知O為坐標原點，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1．
（1）記函數f（α）=•，α∈（-，），討論函數f（α）的單調性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，求|+|的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中O為坐標原點，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1，我們代入定比分點坐標公式，可以求出點P的坐標，進而根據函數f（α）=•，求出函數的解析式，利用除冪公式，及輔助解公式，將函數的解析式化為正弦型函數的形式后，結合α∈（-，）及正弦函數的性質，我們即可求出函數f（α）的單調性，并求其值域；
（2）若O，P，C三點共線，我們向量共線的充要條件，求出tanα的值，結合|+|==，利用萬能公式，代入即可求出|+|的值．
解答：解：依題意知：A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
設點P的坐標為（x，y），
∵點B分有向線段的比為1
∴cosα=，0=，
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴點P的坐標為（2cosα-sinα，-1）（2分）
（1）∵=（sinα-cosα，1），=（2sinα，-1）
∴f（α）=•=2sin²α-2sinαcosα-1=-（sin2α+cos2α）=-sin（2α+），（4分）
由2α+∈（0，）可知函數f（α）的單調遞增區(qū)間為（，），單調遞減區(qū)間為（-，），（6分）
 所以sin（2α+）∈（-，1]，其值域為[-，1）；（8分）
（2）由O，P，C三點共線的-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=，（10分）
∴sin2α===，
∴|+|===（12分）
點評：本題考查的知識點是正弦型函數的單調性，兩角和與差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三點共線，定比分點坐標公式，其中（1）的關鍵是根據已知條件求出函數f（α）=•的解析式，并化簡為正弦型函數的形式，將問題轉化為確定正弦型函數的單調區(qū)間和值域，（2）的關鍵是根據向量共線的充要條件，求出tanα的值．