已知點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.

（1）求證：EO⊥平面AFC；

（2）在線段EF上找一點(diǎn)M，使三棱錐M—ACF為正三棱錐；

（3）試問(wèn)在線段DF(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)R,使得CR∥平面ABF,若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)R的位置；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明:連結(jié)FO.設(shè)AB=BF=2DE=2a,則DO=OB=a,所以EO=a,FO=a,EF=3a.

在△EOF中,由EO2+FO2=EF2,知EO⊥FO.

又DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC,而B(niǎo)D⊥AC,所以AC⊥平面DOE,故AC⊥EO.

由AC面AFC,FO面AFC，AC∩FO=O,所以EO⊥平面AFC.

(2)解：在線段EF上取點(diǎn)M，使得EM∶MF=1∶2，此時(shí)三棱錐M—ACF為正三棱錐.

因?yàn)锳F=FC=AC=2a,

所以△AFC是正三角形.

在線段OF上取點(diǎn)G,使得OG∶GF=1∶2,則點(diǎn)G是△AFC的重心,也就是△AFC的中心.

連結(jié)MG,則MG∥EO,由(1)得MG⊥平面AFC.

故此時(shí)三棱錐M—ACF為正三棱錐.

(3)解：找不到這樣的點(diǎn)R,使得CR∥平面ABF.

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R,使得CR∥平面ABF.

因?yàn)辄c(diǎn)R與點(diǎn)D不重合,所以CD與CR相交.

又CD∥平面ABF,CR∥平面ABF,且CR平面CDF,CD平面CDF,所以平面CDF∥平面ABF.

而平面CDF與平面ABF有公共點(diǎn)F,所以平面CDF與平面ABF必定相交,矛盾.

所以找不到這樣的點(diǎn)R,使得CR∥平面ABF.

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2
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