Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（I）若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ACD；
（II）求證：AO⊥平面BCD；
（III）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC∩BD=O，M為AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，可得OM∥AD，結(jié)合線面平行的判定定理，可得OM∥平面ACD；
（II）解△AOC，可得AO⊥CO，由正方形的性質(zhì)可得AO⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到
二面角A-BC-D的余弦值．
解答：解：（I）證明：∵在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴O為BD的中點(diǎn)，
又M為AB的中點(diǎn)，
∴OM∥AD．
又AD?平面ACD，OM?平面ACD，
∴OM∥平面ACD．
證明：（II）在△AOC中，∵AC=1，，
∴AC²=AO²+CO²，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O
∴AO⊥平面BCD．
（III）由（II）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則，
是平面BCD的一個(gè)法向量．
，，
設(shè)平面ABC的法向量，
則，．
即，
所以y=-x，且z=x，令x=1，則y=-1，z=1，
解得．

從而，
二面角A-BC-D的余弦值為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得OM∥AD，（2）的關(guān)鍵是證得AO⊥CO，AO⊥BD，（3）的關(guān)鍵是分別求出平面ABC和平面BCD的法向量．