Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g(x)=-ax+1．
（1）曲線在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：先由f（x）的解析式，求出f（x）的導函數(shù)，
（1）根據(jù)兩直線平行時斜率相等，由直線3x-y=1的斜率得到切線的斜率，即把x=1代入導函數(shù)求出的導函數(shù)值等于求出的斜率，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）把f（x）的導函數(shù)變形后，求出導函數(shù)值為0時x的值，分a大于0，a小于0和a=0三種情況，由x的值分別討論導函數(shù)得值大于0，求出x的范圍即為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當導函數(shù)的值小于0求出x的范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答：解：由函數(shù)f（x），求導得：f′（x）=a²x²-2ax，
（1）∵切線與直線3x-y=1平行，直線3x-y=1的斜率為3，
∴f′（1）=3，即a²-2a-3=0，分解因式得：（a-3）（a+1）=0，
解得：a=3或a=-1；
（2）f′（x）=a²x²-2ax=a²x（x-

2

a

）
①當a＞0時，x∈（-∞，0），得到f′（x）＞0；0＜x＜

2

a

，f′（x）＜0；x＞

2

a

，f′（x）＞0；
②a＜0時，x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＞0，

2

a

＜x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0；
③a=0，f（x）無單調(diào)性，
綜上，當a=0時，f（x）無單調(diào)性；
當a＞0時，f（x）在（-∞，0）單調(diào)增，在（0，

2

a

）單調(diào)減，在（

2

a

，+∞）單調(diào)增；
當a＜0時，f（x）在（-∞，-

2

a

）單調(diào)增，在（-

2

a

，0）單調(diào)減，在（0，+∞）單調(diào)增．

點評：此題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．要求學生掌握導函數(shù)在切點橫坐標對應的函數(shù)值為切線方程的斜率．導函數(shù)值大于0函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)值小于0函數(shù)單調(diào)遞減，利用這個性質(zhì)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．