【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)2lnx,a∈R.
(I)若x=e是y=f(x)的極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)﹣4e2只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍 .
【答案】(1)a=e或a=3e.(2)(-∞,3e).
【解析】
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=(x﹣a)2 lnx,a∈R.
∴ f′(x)=2(x﹣a)lnx+=(x﹣a)(2lnx+1﹣),
由x=e是f(x)的極值點(diǎn),所以f′(e)=0
解得a=e或a=3e.
經(jīng)檢驗(yàn),a=e或a=3e符合題意,所以a=e或a=3e;
(Ⅱ)由已知得方程f(x)=4e2只有一個(gè)根,
即曲線f(x)與直線y=4e2只有一個(gè)公共點(diǎn).
易知f(x)∈(﹣∞,+∞),設(shè),
①當(dāng)a≤0時(shí),易知函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,滿足題意;
②當(dāng)0<a≤1時(shí),易知h(x)是單調(diào)遞增的,又h(a)=2lna<0,h(1)=1﹣a≥0,
∴x0∈(a,1),h(x0)=0,
當(dāng)0<x<a時(shí),f′(x)=(x﹣a)(2lnx+1﹣)>o
∴f(x)在(0,a)上是單調(diào)遞增,
同理f(x)在(a,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
又極大值f(a)=0,所以曲線f(x) 滿足題意;
③當(dāng)a>1時(shí),h(1)=1﹣a<0,h(a)=2lna>0,
∴x0∈(1,a),h(x0)=0,即,得a﹣x0=2x0lnx0,
可得f(x)在(0,x0)上單調(diào)增,在(x0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增
又f(a)=0,若要函數(shù)f(x)滿足題意,只需f(x0)<4e2,即(x0-a)2lnx0<4e2
∴x02ln3x0<e2, 由x0>1,知g(x)=x2ln3x>0,且在[1, +∞)上單調(diào)遞增,
由g(e)=e2,得1<x0<e,因?yàn)閍=x0+2x0lnx0在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以1<a<3e;
綜上知,a∈(-∞,3e)
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(2)已知點(diǎn),為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),問:在軸上是否存在點(diǎn),使為定值?若存在,試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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(1)求橢圓的方程;
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(1)求甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率;
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(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最小值;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),():
①求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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