Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+mx﹣4在區(qū)間[﹣2，1]上的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最大值和最小值．
（1）求實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A；
（2）試寫出f（x）在區(qū)間[﹣2，1]上的最大值g（m）；
（3）設(shè)h（x）=﹣ x+7，令F（m）= ，其中B=RA，若關(guān)于m的方程F（m）=a恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+mx﹣4在區(qū)間[﹣2，1]上的兩個(gè)端點(diǎn)處取得最大值和最小值，

∴函數(shù)在區(qū)間[﹣2，1]上是單調(diào)函數(shù)，

又∵函數(shù)f（x）的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x=﹣

∴必有﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得m≥4或 m≤﹣2，

∴實(shí)數(shù)m的所有取值組成的集合A={m|m≥4或 m≤﹣2}

（2）解：當(dāng) m≥4時(shí)，﹣ ≤﹣2，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，1]上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)f（x）的最大值g（m）=f（1）=m﹣3；

當(dāng)m≤﹣2 時(shí)，﹣ ≥1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，1]上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)f（x）的最大值g（m）=f（﹣2）=﹣2m

（3）解：由題意可知F（m）= ，

關(guān)于m的方程F（m）=a恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

作圖可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＞ 或1＜a＜4

【解析】（1）問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間[﹣2，1]上是單調(diào)函數(shù)，由二次函數(shù)可得﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得不等式即可；（2）分類討論結(jié)合單調(diào)性可得：當(dāng) m≥4時(shí)g（m）=f（1）=m﹣3，當(dāng)m≤﹣2時(shí)g（m）=f（﹣2）=﹣2m．（3）由題意可知F（m）= ，問(wèn)題等價(jià)于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合易得答案．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用集合的補(bǔ)集運(yùn)算和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，掌握對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集,簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：CUA即：CUA={x|x∈U且x∈A};補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)在上遞減，當(dāng)時(shí)，即可以解答此題．