如圖,已知長方形中,,為的中點.將沿折起,使得平面平面.
(1)求證:;
(2)若點是線段上的一動點,問點E在何位置時,二面角的余弦值為.
(1)詳見解析;(2)中點.
解析試題分析:(1)由已知圖形可得,取的中點,取的中點,連接,可證:三條直線兩兩垂直,平面平面,為等腰直角三角形,底面,,為中點,所以易證,建立空間直角坐標系,證.
(2)由,設(shè)出點坐標,求出面的法向量,以及面的法向量,利用,解出的值,從而判定點的位置.
試題解析:(1)因為平面平面,是的中點,,取的中點,連接則平面,取中點,連接,則,以為原點如圖建立空間直角坐標系,得: ..3分
則
所以,,故 7分
(2)設(shè),因為平面的一個法向量
,
設(shè)平面的一個法向量為,
取,得,所以,10分
因為
求得,所以為的中點。12分
考點:1.空間向量求線線垂直;2.空間向量求二面角.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,G為△BC1D的重心,
(1)求證:A1、G、C三點共線;
(2)求證:A1C⊥平面BC1D;
(3)求點C到平面BC1D的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知四邊形ABCD滿足,E是BC的中點,將△BAE沿AE翻折成,F(xiàn)為的中點.
(1)求四棱錐的體積;
(2)證明:;
(3)求面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分別是線段AB、BC的中點.
(1)證明:PF⊥FD;
(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,是直角梯形,∠=90°,∥,=1,=2,又=1,∠=120°,⊥,直線與直線所成的角為60°.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)求點到面的距離.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖1,在△ABC中,BC=3,AC=6,∠C=90°,且DE∥BC,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1D⊥CD,如圖2。
(1)求證:BC⊥平面A1DC;
(2)若CD=2,求BE與平面A1BC所成角的正弦值。
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