Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC–A′B′C′，AC =AB =AA，=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，  E，F(xiàn)，H分別是AC，AB，BC的中點(diǎn)， 

（I）證明：EF⊥AH；   

   （II）求平面EFC與平面BB′C′所成夾角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）.

【解析】(I)證明線線垂直，可以通過證明線面垂直來解決。本小題連接,分別是的中點(diǎn)后，可知,這樣可以通過證面,得，故.

(II)以A為原點(diǎn)，AB、AA`、AC所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，然后分別求出平面EFC和平面BB′C′的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值

（Ⅰ）如圖連接,分別是的中點(diǎn),

故是的中位線，，………………2分

又由,兩兩垂直知，

，又面,面，則…………4分

即面,則，故.…………………………6分

（Ⅱ）如圖建立空間坐標(biāo)系，

,

………………………………8分

顯然=0，故

不妨設(shè)面的法向量為

，

即：，

不妨令，………………10分

易知面，不妨令面的法向量為

設(shè)面與面夾角為，