Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，

∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點.

求證：

（1）DE∥平面ABC；

（2）B₁F⊥平面AEF.

Answer 1

證明略

解析:

  方法一  如圖建立空間直角坐標系A—xyz，

令AB=AA₁=4，

則A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），B₁（4，0，4）.

（1）取AB中點為N，則N（2，0，0），C（0，4，0），D（2，0，2），                3分

∴=（-2，4，0），=（-2，4，0），

∴=，                                                                                     4分

∴DE∥NC，又NC平面ABC，DE平面ABC.

故DE∥平面ABC.                                                                                           6分

（2）=（-2，2，-4），

=（2，-2，-2），=（2，2，0）.

·=（-2）×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,

則⊥,∴B₁F⊥EF,                                                                           10分

∵·=（-2）×2+2×2+（-4）×0=0.

∴⊥，即B₁F⊥AF，                                                                           12分

又∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF.                                                          14分

方法二  （1）連接A₁B、A₁E，并延長A₁E交AC的延長線于點P，連接BP.由E為C₁C的中點且A₁C₁∥CP，可證A₁E=EP.

∵D、E分別是A₁B、A₁P的中點，

所以DE∥BP.                                                               4分

又∵BP平面ABC，

DE平面ABC，

∴DE∥平面ABC.                                                         6分

（2）∵△ABC為等腰三角形，F為BC的中點，

∴BC⊥AF，                                                                 8分

又∵B₁B⊥AF，B₁B∩BC=B，∴AF⊥平面B₁BF，

而B₁F平面B₁BF，

∴AF⊥B₁F.                                                                  10分

設AB=A₁A=a，

則B₁F²=a²，EF²=a²，

B₁E²=a²，

∴B₁F²+EF²=B₁E²，B₁F⊥FE.                                               12分

又AF∩FE=F，綜上知B₁F⊥平面AEF.                                14分