Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，其離心率為。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若在上，且，，證明直線過定點(diǎn)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件建立方程組求解；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系建立方程求解推證。

試題解析：

（Ⅰ）由已知得：

解之得：，，

所以橢圓的方程；

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，，

所以，

所以，即

當(dāng)直線的斜率存在時，

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程消去整理得：，

因?yàn)橹本�與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

所以，即，，

且，，

設(shè)，，因?yàn)?/span>，

所以，即：，

所以，

整理得：，

所以或，均滿足，

當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時，也符合，

當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，不合題意；

綜上知，直線過定點(diǎn)。