Question

【題目】已知函數(shù) （ 為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若 ，作函數(shù) 的圖像；

(Ⅱ)設(shè)在區(qū)間[1,2]上的最小值為 ，求的表達(dá)式；

（Ⅲ）設(shè) ，若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將函數(shù)化為分段函數(shù)形式，并根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)畫(huà)圖（2）先根據(jù)a的值分類討論函數(shù)單調(diào)性：若 ，函數(shù)單調(diào)遞減；若 ，函數(shù)單調(diào)遞增；若 ，函數(shù)先減后增；最后求出對(duì)應(yīng)情況下最小值（3）由題意得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)在[1,2]上恒非負(fù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)得不等式組，解不等式組可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

作圖

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．

若，則在區(qū)間上是減函數(shù)，

．

若，則，圖像的對(duì)稱軸是直線．

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，

．

當(dāng)，即時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)

．綜上可得 ．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上任取，，且，

則

．

因?yàn)?/span>在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，

因?yàn)?/span>，，所以，即，

當(dāng)時(shí)，上面的不等式變?yōu)?/span>，即時(shí)結(jié)論成立．

當(dāng)時(shí)，，由得，，解得，

當(dāng)時(shí)，，由得，，解得，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為．